Fonction logarithme

À quelle puissance faut-il élever un nombre (q) pour obtenir un autre nombre (x)?

Le théologien, physicien, astronome et mathématicien John Napier (Neper) a introduit  le concept des logarithmes pour résoudre cette question.

Le problème consiste à isoler la variable y dans l'équation q^y = x.

La solution s’écrit y = log_q(x) et s’énonce ainsi : y est le logarithme en base q de x.

Deux égalités (q^y = x et y = log_q(x)) traduisent une même relation entre trois nombres : x (résultat de la puissance), y (exposant) et q (nombre élevé à la puissance, appelé base).  

Le logarithme de base 10 est le logarithme décimal, noté log(x).

Le logarithme de base e est le logarithme népérien, noté ln(x). 

Exemples : 

• Calculer log₃(81) : À quelle puissance faut-il élever le nombre 3 pour obtenir 81 ?

3×3×3×3 = 81 ⇨ 3⁴ = 81 d’où log₃(81) = 4 : le logarithme en base 3 de 81 est 4.

• Calculer log₂(64) :  À quelle puissance faut-il élever le nombre 2 pour obtenir 64 ?

2×2×2×2×2×2 = 64 ⇨ 2⁶ = 64 d’où log₂(64) = 6 : le logarithme en base 2 de 64 est 6.

• log(100) = 2 : Il faut élever le nombre 10 au carré pour obtenir 100 (ici le logarithme est décimal).

• Et log₁₀₀(1) ?

À quelle puissance faut-il élever le nombre 100 pour obtenir 1 ?

100^y = 1 ⇨ 100⁰ = 1 ⇨ log₁₀₀(1) = 0 : le logarithme en base 100 de 1 est 0.

Tout nombre q élevé à la puissance 0 vaut 1 : le logarithme de 1 est toujours nul, quelle que soit sa base (log_q(1) = 0).